前回までは「クレアチン vs プラセボ」を比較できる”独立2群のt検定”についてまとめた。

前回のおさらい「母集団の標準偏差の代わりに”サンプルの標準偏差”を使いたいが...」

前回は、独立2群のt検定でつかう統計量tを下記の式から求めた。

$$ \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sigma \cdot\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} $$

そしていつも通り「母集団の標準偏差がわからないからサンプルの標準偏差で代用する」ということをしようとするのだが、ここで問題がひとつ発生。

独立2群のt検定では、たとえばクレアチン群とプラセボ群のように、２つの”サンプル標準偏差”がある。

どちらか片方のサンプルを使うと”どちらを使うか”で結果が変わりかねないし、そもそも片方しか使わないというのは「もう片方のグループの情報を無視している」ことになるので統計学的にはナンセンス。

プール分散は（重み付き）平均である

プール分散はシンプルに平均

もう一度プール標準偏差の式を見てみよう。

$$ s_p^2 = \frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2} $$

• $\bar{x}_1$：クレアチングループの平均値
• $\bar{x}_2$：プラセボグループの平均値
• $n_1$：クレアチングループのサンプル数
• $n_2$：プラセボグループの平均値

$$s_p^2 = \frac{(n - 1)s_1^2 + (n - 1)s_2^2}{n + n - 2}$$

これを分子を (n-1) 、分母を 2 でくくると...

$$s_p^2 = \frac{(n - 1)(s_1^2 + s_2^2)}{2(n - 1)}$$

ここで分母と分子の (n-1) を約分する。

$$s_p^2 = \frac{s_1^2 + s_2^2}{2}$$

サンプル数が違うときに”重み付け平均”になる

ではなぜこんなややこしい形をしているのかというと、これはプール標準偏差...というかプール分散がサンプルサイズで重み付けした平均だから。

たとえば極端な例として、クレアチン群のサンプル数が30人、プラセボ群のサンプル数が2人だけだったとしよう。

このとき、 $n_1=30, n_2=2$ となるのでプール標準偏差は下記のようになります。

$$s_p^2 = \frac{(30 - 1)s_1^2 + (2 - 1)s_2^2}{30 + 2 - 2}$$

これを計算して...

$$s_p^2 = \frac{29s_1^2 + 1s_2^2}{30}$$

つまり、クレアチン群とプラセボ群の分散を29:1で重み付けしているということ。

今は各群の自由度が「n-1」というサンプル数から"1"を引いた値であると知っておけばOK。

これはもう少し具体的にいうと、平均を求めるという作業で自由度が1失われているからこの計算式になる。

重み付き平均とは？

実は”ただの平均”も加重平均とみなせる

このとき、誰もが思うクラスの平均身長は下記だろう。

$$ \bar{x} = \frac{\text{身長}_1 + \text{身長}2 + \dots + \text{身長}{30}}{30} $$

「平均といえばこの式」と言えるくらいオーソドックスな式だが、これは実は”重みづけ平均”として理解することができる。

1. 各人の身長に「同じ重み（1人分の情報量）」をつける
2. その合計を「全員分の情報量（30人）」で割る

さらにこの式は下記のようにも書くことができる。

$$ \bar{x} = \frac{1}{30} \cdot \text{身長}_1 + \frac{1}{30} \cdot \text{身長}2 + \dots + \frac{1}{30} \cdot \text{身長}{30} $$

つまり全部の情報に $\frac{1}{30}$の重みを与えていることになる。

重みつき平均は、情報の信頼度が違う場合に使う