前回の講座では、「サンプルの分布が正規分布になるよ！」ということを紹介した。

ここからは一歩進んで、正規分布を使った”検定”というものをやってみよう。

ちなみにZ検定というのは、”母集団の標準偏差”というものが分からなければ検定ができない。

つまり、現実には絶対知り得ない値であるものが前提になっているので、Z検定を研究で使うことはまずない。

実際の流れとしては、下記のようになる。

1. Z検定で使う”正規分布の標準化”を学ぶ
2. 標準正規分布を使ってZ検定をする
3. t検定とのつながりを見る

Z検定の前に必要な知識：標準正規分布

正規分布を”共通の規格”で直したのが、標準正規分布

前回の章で正規分布というものを学んだ。

この標準正規分布は、平均から左右均等にサンプル数が減っていくというわかりやすい性質。

実際に身長など、この正規分布を仮定して大丈夫なパターンも多い。

しかし一方で「平均±標準偏差に約68%、平均±95%に約95%のサンプルが含まれている」という性質は、不便な部分がある。

それが分布によって平均も標準偏差も違うので、共通の物差しで比較しづらいということ。

そこで出てくるのが”標準化”という操作。

標準化というのはなにかというと、正規分布をすべて「平均が０・標準偏差が１の正規分布」に書き換える作業。

たとえば標準正規分布に直してさえしまえば、-1~1に入るサンプルは68%とすぐさまわかる。

この特別な正規分布を”標準正規分布”と呼び、この平均が０・標準偏差が１の分布に変換することを”標準化”と呼ぶ。

標準化とZスコア

このZ分布とZスコアは、実は式が同じ。

それゆえに混同しやすい概念なので、少し丁寧に説明してみよう。

Z分布は、すべての観測値に対して標準化を行ったもの

標準化とは、正規分布を「平均0・標準偏差1のZ分布へ変換」すること。

そしてこれは、下記のような式で表される。

たとえば平均5の正規分布だとしたら、 分子の $X - \mu$ という計算をすべての観測値Xに関して行うと、元の正規分布は平均は０のグラフに移される。

なぜなら観測値が平均ど真ん中の5であれば、計算の結果は"5 - 5 = 0"となる。

仮に6であれば、5を引いて1...というようにすべての値に関して5を引くと、分布は丸ごと左にずれて平均０の正規分布になることがわかる。

実はこのこと自体は、数学的には簡単に示すことができる。

なぜなら標準偏差には、「元のデータをk倍したグラフは、標準偏差もk倍になる」という性質があるから。

つまり元のデータで標準偏差が $\sigma$ なら、 $\frac{1}{\sigma}$ 倍すれば標準偏差は1になる。

Z分布とは、「標準偏差を基準に世界を構築し直したもの」

たとえば身長（平均170cm・標準偏差5cm）と体重（平均70kg・標準偏差7kg）を平行移動だけしたものを考えよう。