前回の講座では、サンプル平均を使って母集団の平均を推測する方法をまとめた。

今回は統計初学者が必ずつまづくと言っても過言ではない”母集団の分散”と”母集団の標準誤差”について紹介する。

ようじゅ

ここは自分もはじめて勉強したときは思いっきりつまずきました。

ここでは混合を避けるためにサンプルの分散をサンプル分散（Sample Variance）、母集団の分散（の推定値）を母分散（Population Variance）と呼んで区別することにする。

ようじゅ

同様に母集団の平均と標準偏差を”母平均”と”母標準偏差”、サンプルの平均と標準偏差を”サンプル平均”と”サンプル標準偏差”と呼ぶことにします。

サンプルと母集団の分散は分母が違う

サンプル分散（Sample Variance）

まず以前紹介したバラツキの指標である分散は、下記の式で表される。

$$ s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\mathrm{1RM}_i-\overline{\mathrm{1RM}})^2 $$

ようじゅ

これは意味としては、「平均からの距離（の二乗）を足して、サンプルの数で割ったもの」です。

プラスとマイナスが打ち消し合わないように二乗して、一つあたりの”平均からの距離の二乗”にしたものが分散の正体。

ようじゅ

これがサンプルの分散である”サンプル分散”の式です。

母分散（population Variance）

そして母集団の分散を $\sigma$ として、その推定値である $\hat{\sigma}$ は次の式で表される。

$$ \hat{\sigma}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(\mathrm{1RM}_i-\overline{\mathrm{1RM}})^2 $$

ここで母分散では分母がnではなくn-1になっていることに注意。

なぜn-1になっているかというと、この計算式が”最も母分散をうまく推測できる”とわかっているから。

ようじゅ

逆に言えば分母をnにしてしまうと、母集団の分散を過小評価してしまうことがわかっています。

分母をn-1にする理由（直感的理解）

分母をn-1にする理由、それは直感的に言うならば「サンプル平均というものは、母平均よりもサンプルの中央に位置する」から。